Paradox

Wer am 24. Mai Geburtstag hat, feiert häufig bei sonnigem Wetter und manchmal sogar an einem beweglichen Feiertag. Mit der Osterformel von Carl Friedrich Gauß lässt sich (Überraschung!) das Osterfest berechnen.

Daran sind dann Fasching, Vatertag und Pfingsten gebunden.

Aber wie kann man die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass zwei Menschen am gleichen Tag Geburtstag haben? Einige glauben, das käme nur ganz selten vor, mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/365 oder 1/365,25 – wenn Schaltjahre berücksichtigt werden. Andere ziehen den Vergleich zu einem Münzwurf, der nur zwei Ereignisse ermöglicht, Kopf oder Zahl. Entweder zwei Menschen haben am gleichen Tag Geburtstag oder sie haben nicht am gleichen Tag Geburtstag, also 50%?

Das würde dann auch für einen Lottogewinn gelten: Entweder man gewinnt oder man gewinnt nicht, also 50%. Schön wär’s! Leider funktioniert das nur, wenn die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse gleich hoch sind. Zwar gilt das beim Lotto für jede einzelne Kugel, allerdings nicht für die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse »Lottogewinn« und »kein Lottogewinn«. Schade.

Zurück zum Geburtstagsparadoxon: Tatsächlich ist es keine schlechte Idee, zuerst auszurechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass zwei Menschen nicht am gleichen Tag Geburtstag haben. Wenn Schaltjahre unberücksichtigt bleiben, dann beträgt sie 364/365, ist also erwartungsgemäß sehr groß (99,73%). Kommt eine dritte Person dazu, dann teilt sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 363/365 ihren Geburtstag weder mit der ersten noch mit der zweiten Person. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit, dass drei Menschen nicht am gleichen Tag Geburtstag haben 364/365 mal 363/365 (99,18%). Für vier Menschen gilt 364/365 mal 363/365 mal 362/365 (98,36%).

Die Wahrscheinlichkeit wird immer kleiner und beträgt für 23 Menschen 49,27%.

Da auf diese Art die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet wurde, nämlich für 23 unterschiedliche Geburtstage, wird die Zahl von 100% abgezogen:

100% – 49,27% = 50,73%

Schon ab 23 Personen lohnt es sich also, darauf zu wetten, dass mindestens zwei von ihnen ihren Geburtstag teilen. Damit lässt sich zwar keine Million gewinnen wie beim Lotto, aber vielleicht jemand zum gemeinsamen Feiern finden.

Alles Gute zum Geburtstag, euch beiden!